Asservissement & Régulation

Mise en équations des asservissements linéaires

Problématique générale — Boucle ouverte / fermée — Modélisation — Transformée de Laplace

Introduction générale — Problématique

L'automatique est la science du contrôle et de la régulation des systèmes dynamiques. Son objectif fondamental est de faire en sorte qu'une grandeur physique (position, vitesse, température, pression…) suive une consigne désirée avec précision, rapidité et stabilité, en dépit des perturbations extérieures et des incertitudes du modèle.

DEF

Un asservissement (ou système en boucle fermée) est un dispositif automatique dans lequel la grandeur de sortie y(t) est mesurée et comparée en permanence à la grandeur de consigne r(t), afin de minimiser l'écart entre les deux et corriger toute déviation causée par des perturbations.

La mise en équations repose sur trois outils fondamentaux :

Équations différentielles

Modèle temporel du système physique (lois de Newton, Kirchhoff…). Elles décrivent l'évolution de la sortie y(t) en fonction de l'entrée u(t).

Transformée de Laplace

Transforme les équations différentielles en équations algébriques dans le domaine complexe s. Simplifie considérablement les calculs.

Fonction de transfert

Rapport Y(s)/U(s) dans le domaine de Laplace, valable pour un système linéaire, continu, invariant dans le temps (SLCI) à conditions initiales nulles.

Chaîne de modélisation — Du système physique au schéma-blocs

Rappels — Transformée de Laplace & Propriétés clés

La transformée de Laplace est l'outil central de la mise en équations des asservissements. Elle transforme une fonction du temps f(t) en une fonction du complexe F(s), où s = σ + jω est la variable de Laplace.

Définition — Transformée de Laplace unilatérale

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀^{+∞} f(t)·e^{−st} dt

Les propriétés les plus utilisées en automatique sont :

Propriété	Domaine temporel	Domaine de Laplace	Intérêt
Dérivation	df/dt	s·F(s) − f(0⁺)	Convertit les EDO en équations algébriques en s
Intégration	∫₀ᵗ f(τ)dτ	F(s)/s	Un intégrateur ↔ un pôle en s=0
Linéarité	αf + βg	αF(s) + βG(s)	Superposition des effets
Retard pur	f(t − τ)	e^{−τs}·F(s)	Modélisation des retards de transport
Val. initiale	f(0⁺)	lim s→∞ s·F(s)	Comportement initial du système
Val. finale	lim t→∞ f(t)	lim s→0 s·F(s)	Calcul de l'erreur statique ε∞

Pour un système du 1^er ordre régi par τ·ẏ + y = K·u, en appliquant Laplace (CI nulles) : τ·s·Y(s) + Y(s) = K·U(s), d'où la fonction de transfert : H(s) = Y(s)/U(s) = K / (1 + τs). C'est un système à gain statique K et constante de temps τ.

Représentation par schéma-blocs — Règles de base

Le schéma-blocs est une représentation graphique des relations causales entre les signaux d'un système. Chaque bloc représente une fonction de transfert, les flèches les signaux (causes et effets). Trois opérations élémentaires permettent de construire tout schéma :

Trois opérations élémentaires des schémas-blocs

Grâce à ces règles, on peut réduire tout schéma-blocs à une seule fonction de transfert équivalente. La mise en série donne un produit, la mise en parallèle donne une somme, et la boucle de retour produit la formule fondamentale de Mason.

Commande en boucle ouverte — Modélisation & Limites

Dans la commande en boucle ouverte, l'action de commande u(t) est calculée uniquement à partir de la consigne r(t), sans aucune mesure de la sortie réelle y(t). Le procédé agit en "aveugle".

Schéma fonctionnel — Commande en boucle ouverte

La fonction de transfert en boucle ouverte est simplement :

Modèle boucle ouverte

Y(s) = G(s)·U(s) + D(s) ← la perturbation s'additionne directement

✕
Sensibilité aux perturbations : toute perturbation d(t) se répercute directement sur la sortie sans compensation possible.
✕
Erreur statique permanente : si G(s) diffère du modèle nominal, la sortie n'atteint pas la consigne.
✕
Dérives paramétriques : vieillissement, température… Le système s'écarte progressivement du comportement désiré.
✕
Absence d'auto-correction : aucun mécanisme de retour pour corriger les écarts.

Commande en boucle fermée — Architecture & Équations

La boucle fermée introduit une chaîne de retour qui mesure la sortie réelle et calcule en permanence l'écart (erreur) avec la consigne. Cet écart est traité par un correcteur qui génère la commande corrective. C'est le principe fondamental de l'asservissement.

Schéma fonctionnel complet — Boucle fermée avec perturbation et capteur

L'erreur de poursuite est le signal fondamental de l'asservissement :

Erreur — Signal d'écart

ε(s) = R(s) − H(s)·Y(s)

En exprimant Y(s) à partir du schéma (sans perturbation) :

Signal de sortie en boucle fermée

Y(s) = C(s)·G(s)·ε(s) = C(s)·G(s)·[R(s) − H(s)·Y(s)]

ÉTAPE 1

Écrire la relation de sortie : Y(s) = C(s)·G(s)·ε(s)

ÉTAPE 2

Substituer l'erreur : Y(s) = C(s)·G(s)·[R(s) − H(s)·Y(s)]

ÉTAPE 3

Développer et regrouper Y(s) : Y(s)·[1 + C(s)·G(s)·H(s)] = C(s)·G(s)·R(s)

ÉTAPE 4

Diviser pour obtenir la FTBF : T(s) = C(s)·G(s) / [1 + C(s)·G(s)·H(s)]

Fonctions de transfert fondamentales & Problèmes fondamentaux

Un système asservi est caractérisé par plusieurs fonctions de transfert selon le signal d'entrée considéré (consigne R ou perturbation D) et la grandeur de sortie (Y ou ε).

Nom	Définition	Expression	Rôle
FTBO	Fonction de transfert en boucle ouverte	FTBO(s) = C(s)·G(s)·H(s)	Analyse de stabilité (Bode, Nyquist)
FTBF	Sortie / Consigne (BF)	T(s) = C(s)G(s) / [1 + FTBO(s)]	Comportement en poursuite
FTBE	Erreur / Consigne	Tε(s) = 1 / [1 + FTBO(s)]	Calcul de l'erreur statique
FT Perturb.	Sortie / Perturbation	Td(s) = G(s) / [1 + FTBO(s)]	Rejet de perturbation

KEY

Remarque fondamentale : le dénominateur de toutes ces fonctions de transfert est 1 + FTBO(s). C'est le polynôme caractéristique dont les racines (pôles de la FTBF) déterminent entièrement la stabilité et la dynamique du système asservi. Les pôles de la FTBF sont les racines de l'équation caractéristique : 1 + C(s)·G(s)·H(s) = 0.

Réponse indicielle — influence du coefficient d'amortissement ξ sur la dynamique

Problème de la stabilité

Un système asservi peut devenir instable même si ses composants sont stables individuellement. La boucle peut amplifier des oscillations et diverger. Les pôles de la FTBF doivent tous avoir une partie réelle négative.

Performances d'un système régulé

Précision (erreur statique ε∞), rapidité (temps de réponse tr5%, temps de montée tm) et dépassement D% sont les trois critères clés évalués en régime transitoire et permanent.

Rôle du correcteur C(s)

Le correcteur est le seul degré de liberté du concepteur. Son choix détermine entièrement les propriétés de stabilité et de performance du système bouclé. C'est l'objet des chapitres suivants.

Le système du second ordre canonique est le modèle de référence de l'automatique. Tout système d'ordre supérieur est souvent approximé par ses pôles dominants.

Fonction de transfert du second ordre canonique

G(s) = ωₙ² / (s² + 2ξωₙs + ωₙ²)

Paramètre	Symbole	Rôle	Effet sur la réponse
Pulsation propre	ωₙ (rad/s)	Fréquence naturelle d'oscillation	↑ ωₙ → système plus rapide (tr5% ≈ 3/ωₙ)
Coefficient d'amortissement	ξ (sans dim.)	Caractérise l'amortissement des oscillations	ξ < 1 → sous-amorti, D% > 0 ; ξ ≥ 1 → pas de dépassement

✎ Exercices & Corrigés

EXO 01 Modélisation d'un système RC du premier ordre Niveau ▶

On considère un circuit RC série soumis à une tension d'entrée u_e(t). La tension aux bornes du condensateur constitue la sortie u_s(t). On note R = 10 kΩ et C = 100 µF.

Schéma du circuit RC série — u_e(t) : entrée, u_s(t) : sortie (tension condensateur)

Schéma-blocs équivalent du circuit RC

La loi des mailles donne l'équation différentielle :

RC · du_s/dt + u_s(t) = u_e(t)

Q1
Déterminer la fonction de transfert H(s) = U_s(s) / U_e(s) en appliquant la transformée de Laplace (conditions initiales nulles).
Q2
Identifier le gain statique K et la constante de temps τ. Calculer leurs valeurs numériques.
Q3
Pour une entrée échelon U_e(s) = E/s avec E = 5 V, calculer la réponse U_s(s) dans le domaine de Laplace, puis u_s(t) par transformée inverse.
Q4
Déterminer la valeur finale u_s(+∞) par le théorème de la valeur finale. Vérifier graphiquement la cohérence.

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Fonction de transfert H(s)
On applique la transformée de Laplace à l'équation différentielle RC·s·U_s(s) + U_s(s) = U_e(s), en supposant les conditions initiales nulles (u_s(0⁺) = 0) :

U_s(s)·(RCs + 1) = U_e(s)

H(s) = U_s(s) / U_e(s) = 1 / (1 + RCs) = K / (1 + τs)

Identification des paramètres
Par identification directe avec la forme canonique H(s) = K/(1 + τs) :

K = 1 (gain statique — la sortie atteint 100% de l'entrée en régime permanent)

τ = RC = 10×10³ × 100×10⁻⁶ = 1 seconde

K = 1 | τ = 1 s

Le temps de réponse à 5% est : t_r5% ≈ 3τ = 3 secondes.

Réponse indicielle (E = 5 V)
L'entrée échelon vaut U_e(s) = E/s = 5/s. On obtient :

U_s(s) = H(s)·U_e(s) = [1/(1+s)] · (5/s) = 5 · [1/s − 1/(s+1)]

Par décomposition en éléments simples et transformée inverse :

u_s(t) = 5·(1 − e^{−t/τ})·σ(t) = 5·(1 − e^{−t}) V pour t ≥ 0

u_s(t) = 5(1 − e^{−t}) V

Courbe de réponse indicielle annotée — circuit RC, E = 5 V, τ = 1 s

Valeur finale — Théorème
Le théorème de la valeur finale stipule : lim_t→∞ f(t) = lim_s→0 s·F(s)

u_s(+∞) = lim[s→0] s · U_s(s) = lim[s→0] s · 5/[s(1+s)] = lim[s→0] 5/(1+s) = 5 V

u_s(+∞) = 5 V = E → erreur statique nulle (K = 1, gain unitaire)

Cohérence : quand t→∞, e^{−t}→0, donc u_s(+∞) = 5(1−0) = 5 V ✓

EXO 02 Calcul de la FTBF et erreur statique d'un asservissement Niveau ▶

On considère un asservissement en boucle fermée à retour unitaire (H(s) = 1) avec :

G(s) = 10 / [s(1 + 0.1s)] — C(s) = Kp (correcteur proportionnel)

Schéma-blocs de l'asservissement — retour unitaire H(s)=1, procédé G(s), correcteur C(s)=Kp

Q1
Déterminer la FTBO(s) = C(s)·G(s)·H(s) et identifier la classe du système en boucle ouverte.
Q2
Calculer la FTBF T(s) = Y(s)/R(s) pour un retour unitaire H(s) = 1.
Q3
Calculer l'erreur statique ε∞ pour une entrée échelon unité R(s) = 1/s. Conclure sur la précision du système.
Q4
Pour Kp = 5, mettre la FTBF sous forme canonique du second ordre et identifier ωₙ et ξ.

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FTBO et classe du système

FTBO(s) = Kp · 10 / [s(1 + 0.1s)] = 10Kp / [s(0.1s + 1)]

La FTBO contient un intégrateur (facteur 1/s) : le système est de classe 1 en boucle ouverte. Un système de classe 1 a une erreur statique nulle pour une entrée échelon.

Classe 1 — un pôle en s = 0 (intégrateur pur)

Calcul de la FTBF
Formule générale pour retour unitaire :

T(s) = FTBO(s) / [1 + FTBO(s)] = [10Kp / s(0.1s+1)] / [1 + 10Kp / s(0.1s+1)]

En multipliant numérateur et dénominateur par s(0.1s+1) :

T(s) = 10Kp / [s(0.1s+1) + 10Kp] = 10Kp / [0.1s² + s + 10Kp]

T(s) = 10Kp / (0.1s² + s + 10Kp)

Erreur statique pour un échelon unité
La fonction de transfert de l'erreur est : T_ε(s) = 1 / [1 + FTBO(s)]
L'erreur en réponse à un échelon R(s) = 1/s vaut :

E(s) = T_ε(s)·R(s) = [s(0.1s+1) / (0.1s² + s + 10Kp)] · (1/s)

Par le théorème de la valeur finale :

ε∞ = lim[s→0] s · E(s) = lim[s→0] [s(0.1s+1)/(0.1s²+s+10Kp)] = 0/10Kp = 0

ε∞ = 0 — Précision parfaite en échelon (classe 1 → erreur nulle)

Forme canonique du 2ᵉ ordre — Kp = 5
Pour Kp = 5 : T(s) = 50 / (0.1s² + s + 50). On divise par 0.1 :

T(s) = 500 / (s² + 10s + 500)

Identification avec ωₙ²/(s² + 2ξωₙs + ωₙ²) :

ωₙ² = 500 → ωₙ = √500 ≈ 22.4 rad/s

2ξωₙ = 10 → ξ = 10/(2×22.4) ≈ 0.223

ωₙ ≈ 22.4 rad/s | ξ ≈ 0.22 → système sous-amorti (fort dépassement attendu D% ≈ 52%)

Localisation des pôles de la FTBF dans le plan complexe (s) — ξ ≈ 0.22, ωₙ ≈ 22.4 rad/s

EXO 03 Réduction d'un schéma-blocs complexe Niveau ▶

On donne le schéma-blocs suivant avec une double boucle imbriquée :

Schéma-blocs — Double boucle imbriquée

Données : C(s) = Kp, G₁(s) = 1/(1 + 0.5s), G₂(s) = 2/(s), H₂(s) = 0.5, H₁(s) = 1 (retour unitaire global)

Q1
Réduire la boucle interne [G₁, G₂, H₂] en une seule fonction de transfert équivalente T_int(s).
Q2
En déduire la FTBO globale du système réduit.
Q3
Calculer la FTBF globale T(s) = Y(s)/R(s). Pour Kp = 2, mettre sous forme canonique et identifier ωₙ et ξ.

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Réduction de la boucle interne
La chaîne directe interne est G₁(s)·G₂(s) (en série), la contre-réaction est H₂(s).

G₁(s)·G₂(s) = [1/(1+0.5s)] · [2/s] = 2 / [s(1+0.5s)]

Application de la formule de réduction de boucle :

T_int(s) = G₁G₂ / (1 + G₁G₂H₂) = [2/s(1+0.5s)] / [1 + 2×0.5/s(1+0.5s)]

T_int(s) = 2 / [s(1+0.5s) + 1] = 2 / (0.5s² + s + 1)

T_int(s) = 2 / (0.5s² + s + 1) = 4 / (s² + 2s + 2)

Réduction de la boucle interne en bloc équivalent T_int(s)

FTBO globale après réduction
Le système réduit est : R(s) → Σ → C(s) → T_int(s) → Y(s) avec H₁(s) = 1.

FTBO(s) = C(s) · T_int(s) · H₁(s) = Kp · 4/(s²+2s+2) · 1

FTBO(s) = 4Kp / (s² + 2s + 2)

FTBF globale et forme canonique pour Kp = 2

T(s) = FTBO / (1 + FTBO) = [4Kp/(s²+2s+2)] / [1 + 4Kp/(s²+2s+2)]

T(s) = 4Kp / (s² + 2s + 2 + 4Kp)

Pour Kp = 2 : T(s) = 8 / (s² + 2s + 10)

Identification avec ωₙ²/(s²+2ξωₙs+ωₙ²) :

ωₙ² = 10 → ωₙ = √10 ≈ 3.16 rad/s

2ξωₙ = 2 → ξ = 2/(2×3.16) ≈ 0.316

ωₙ ≈ 3.16 rad/s | ξ ≈ 0.32 → sous-amorti, D% ≈ 35% | tr5% ≈ 1 s

EXO 04 Application complète — Modélisation d'un servomoteur à courant continu Niveau ▶

Un servomoteur à courant continu (MCC) est modélisé par les équations suivantes :

Schéma complet du servomoteur à courant continu — couplage électro-mécanique

Schéma-blocs fonctionnel du MCC — couplage électrique / mécanique / cinématique

Élec.
Circuit d'induit : u(t) = R·i(t) + L·di/dt + e(t) avec e(t) = Ke·ω(t)
Méca.
Équation de mouvement : J·dω/dt = Cem(t) − f·ω(t) avec Cem = Km·i(t)
Sortie
On cherche la position : θ(t), avec dθ/dt = ω(t)

Données numériques : R = 2 Ω, L ≈ 0 (négligeable), J = 0.01 kg·m², f = 0.1 N·m·s, Ke = Km = 0.5

Q1
En négligeant L, exprimer I(s) en fonction de U(s) et Ω(s) dans le domaine de Laplace.
Q2
Exprimer Ω(s) en fonction de I(s). En déduire la fonction de transfert G(s) = Ω(s)/U(s).
Q3
En déduire la fonction de transfert H(s) = Θ(s)/U(s) (position/tension). Identifier le type du système.
Q4
En boucle fermée avec retour unitaire et correcteur C(s) = Kp = 10, calculer la FTBF et les pôles du système bouclé.

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Équation électrique (L ≈ 0)
En Laplace avec L = 0 : U(s) = R·I(s) + Ke·Ω(s)

I(s) = [U(s) − Ke·Ω(s)] / R = [U(s) − 0.5·Ω(s)] / 2

I(s) = (U(s) − 0.5·Ω(s)) / 2

Équation mécanique → G(s) = Ω(s)/U(s)
En Laplace : J·s·Ω(s) = Km·I(s) − f·Ω(s)

(Js + f)·Ω(s) = Km·I(s) = 0.5 · [U(s) − 0.5·Ω(s)] / 2

(0.01s + 0.1)·Ω(s) + 0.125·Ω(s) = 0.25·U(s)

(0.01s + 0.225)·Ω(s) = 0.25·U(s)

G(s) = Ω(s)/U(s) = 0.25/(0.01s + 0.225) = 25/(s + 22.5) = K/(1 + τs) avec K=1.11, τ=44ms

FT position H(s) = Θ(s)/U(s)
Puisque dθ/dt = ω → en Laplace : Θ(s) = Ω(s)/s

H(s) = Θ(s)/U(s) = G(s)/s = 25 / [s(s + 22.5)]

H(s) = 25/[s(s+22.5)] — Système de classe 1 (un intégrateur pur en s=0)

La position d'un moteur est naturellement intégratrice (vitesse → position).

FTBF avec Kp = 10
FTBO(s) = 10 · 25/[s(s+22.5)] = 250/[s(s+22.5)]

T(s) = 250/[s(s+22.5)] / [1 + 250/(s(s+22.5))] = 250 / (s² + 22.5s + 250)

Identification : ωₙ² = 250 → ωₙ ≈ 15.8 rad/s | 2ξωₙ = 22.5 → ξ ≈ 0.71

ωₙ ≈ 15.8 rad/s | ξ ≈ 0.71 → excellent compromis rapidité/amortissement (D% ≈ 4%)

Pôles de la FTBF : s = −ξωₙ ± jωₙ√(1−ξ²) = −11.25 ± j11.1 → partie réelle négative : système stable.

Asservissement en position du MCC — boucle fermée avec Kp=10, retour unitaire (codeur)

Stabilité des systèmes linéaires asservis

Critères mathématiques — Routh-Hurwitz — Nyquist — Bode — Marges de stabilité

Critère mathématique de stabilité — Pôles et plan de Laplace

Un système linéaire invariant (SLCI) est dit asymptotiquement stable si et seulement si, pour toute condition initiale non nulle, sa réponse libre tend vers zéro quand t → +∞. Cela se traduit par une condition simple sur les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée.

DEF

Condition de stabilité : le système est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les racines du polynôme caractéristique (= pôles de la FTBF) ont une partie réelle strictement négative — elles sont dans le demi-plan gauche ouvert du plan de Laplace.

Condition nécessaire et suffisante de stabilité

∀ pôle sᵢ de T(s) : Re(sᵢ) < 0 ⟺ système asymptotiquement stable

Les trois cas de stabilité dans le plan de Laplace — localisation des pôles et réponse temporelle associée

Localisation des pôles	Type de stabilité	Réponse libre	Condition
Tous dans le demi-plan gauche strict	Asymptotiquement stable	Tend vers 0	Re(sᵢ) < 0
Sur l'axe imaginaire (simples)	Marginalement stable	Oscillations bornées	Re(sᵢ) = 0
Un ou plusieurs dans le demi-plan droit	Instable	Diverge vers ±∞	Re(sᵢ) > 0

Critère algébrique de Routh-Hurwitz — Méthode du tableau

Le critère de Routh-Hurwitz permet de conclure sur la stabilité d'un système sans calculer explicitement les racines du polynôme caractéristique. On construit un tableau à partir des coefficients, et on examine uniquement la première colonne.

Polynôme caractéristique général d'ordre n

P(s) = aₙsⁿ + aₙ₋₁sⁿ⁻¹ + … + a₁s + a₀ (aₙ > 0)

Construction du tableau de Routh-Hurwitz — cas d'un polynôme de degré 4

R1
Condition nécessaire : tous les coefficients aᵢ du polynôme caractéristique doivent être non nuls et de même signe. Si un coefficient est nul ou négatif → système instable, arrêt immédiat.
R2
Construction du tableau : les deux premières lignes sont formées directement par les coefficients du polynôme (pairs/impairs). Les lignes suivantes se calculent par des déterminants 2×2.
R3
Condition suffisante : tous les éléments de la première colonne du tableau sont strictement positifs ⟹ système asymptotiquement stable.
R4
Comptage des instabilités : le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines dans le demi-plan droit (instables).

Critère de Nyquist — Lieu de Nyquist & Critère du revers

Le critère de Nyquist est un outil graphique fréquentiel. On trace le lieu de FTBO(jω) dans le plan complexe quand ω varie de 0 à +∞ (lieu de Nyquist), puis on observe la position du point critique (−1, j0) par rapport à cette courbe.

DEF

Critère de Nyquist : pour un système en boucle ouverte stable, la boucle fermée est stable si et seulement si le point (−1, j0) n'est pas entouré par le lieu de Nyquist (critère du revers simplifié : le point critique reste à gauche du lieu parcouru de ω=0 à ω=+∞).

Lieu de Nyquist — les trois configurations par rapport au point critique (−1, j0)

Lieu de Nyquist

Courbe paramétrique FTBO(jω) dans le plan complexe, ω ∈ [0, +∞[. En pratique, on ne trace que la moitié supérieure (ω ≥ 0), la partie inférieure étant symétrique par rapport à l'axe réel.

Critère du revers

Pour un système à FTBO stable : la BF est stable si le point (−1, j0) reste à gauche du lieu de Nyquist parcouru dans le sens des ω croissants (de 0 à +∞).

Avantages du critère

Applicable aux systèmes d'ordre quelconque, aux systèmes avec retard pur, et permet une lecture graphique directe des marges de gain et de phase.

Diagramme de Bode — Lecture des marges

Le diagramme de Bode représente la réponse fréquentielle de la FTBO en deux graphes : le module en décibels et la phase en degrés, tous deux en fonction de log(ω). C'est l'outil pratique de référence pour déterminer les marges de stabilité.

Diagramme de Bode annoté — lecture graphique de la marge de gain (Gm) et de la marge de phase (Pm)

Marges de stabilité — Définitions & Spécifications

Les marges de stabilité quantifient l'éloignement du système par rapport à la frontière d'instabilité. Elles permettent de concevoir des systèmes robustes, capables de rester stables malgré des variations paramétriques.

Marge de gain — Gain Margin Gm

Gm [dB] = −20·log|FTBO(jω_π)| où ω_π est tel que arg[FTBO(jω_π)] = −180°

Marge de phase — Phase Margin Pm

Pm [°] = 180° + arg[FTBO(jω_c)] où ω_c est tel que |FTBO(jω_c)| = 1 (0 dB)

Marge	Définition physique	Spécification courante	Conséquence si insuffisante
Gm (gain)	Facteur par lequel le gain peut être multiplié avant instabilité	Gm ≥ 6 dB (facteur ×2)	Faible robustesse aux variations de gain
Pm (phase)	Déphasage supplémentaire tolérable avant instabilité	Pm ≥ 45°	Fort dépassement, oscillations, instabilité

Relation entre marge de phase Pm et dépassement D% — système du 2ème ordre

✓
Spécification courante : Gm ≥ 6 dB — le gain peut doubler avant instabilité.
✓
Spécification courante : Pm ≥ 45° — garantit un dépassement D% ≤ 20% pour un système du 2ème ordre.
✓
Relation approximative : Pm ≈ 100·ξ pour un 2ème ordre (Pm en degrés, ξ coefficient d'amortissement).
⚠
Une marge de phase faible (Pm < 30°) entraîne un fort dépassement et des oscillations prononcées en régime transitoire.

✎ Exercices & Corrigés — Stabilité

EXO S1 Critère de Routh — Système du 3ème ordre Niveau ▶

On considère un système en boucle fermée dont le polynôme caractéristique est :

P(s) = s³ + 6s² + 11s + K (K > 0 : gain du correcteur)

Schéma de l'asservissement — gain K en boucle fermée avec procédé G(s)

Q1
Vérifier que la condition nécessaire de Routh est satisfaite (tous coefficients positifs).
Q2
Construire le tableau de Routh pour P(s) = s³ + 6s² + 11s + K.
Q3
Déterminer la plage de valeurs de K pour laquelle le système est stable.
Q4
Pour la valeur de K critique, que se passe-t-il ? Calculer la pulsation d'oscillation.

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Condition nécessaire
P(s) = s³ + 6s² + 11s + K. Tous les coefficients sont : 1, 6, 11, K.

Si K > 0 → tous positifs → condition nécessaire satisfaite ✓

Tableau de Routh

Tableau de Routh pour P(s) = s³ + 6s² + 11s + K

Condition de stabilité
Tous les éléments de la 1ère colonne doivent être strictement positifs :

1 > 0 ✓ | 6 > 0 ✓ | (66−K)/6 > 0 → K < 66 | K > 0

Système stable ⟺ 0 < K < 66

Valeur critique — Oscillations entretenues
Pour K = 66, l'élément s¹ s'annule → la ligne s¹ est nulle → pôles sur l'axe imaginaire.

Polynôme auxiliaire (ligne s²) : 6s² + 66 = 0 → s² = −11 → s = ±j√11

ω_osc = √11 ≈ 3.32 rad/s — oscillations entretenues à K = 66 (limite de stabilité)

EXO S2 Marges de stabilité par diagramme de Bode Niveau ▶

On donne la fonction de transfert en boucle ouverte :

FTBO(s) = 10 / [s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)]

Esquisse du diagramme de Bode de FTBO(jω) — repérage de ωc et ωπ

Q1
Calculer le module et la phase de FTBO(jω) pour ω = 1 rad/s. En déduire une estimation de ωc (fréquence de coupure à 0 dB).
Q2
Calculer arg[FTBO(jω)] à la fréquence ωπ telle que la phase vaut −180°. Estimer ωπ.
Q3
Calculer la marge de gain Gm et la marge de phase Pm. Conclure sur la stabilité.
Q4
Quel gain K (à la place de 10) rendrait le système à la limite de stabilité ?

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Module et phase à ω = 1 rad/s

|FTBO(j1)| = 10 / (1 · √(1+0.25) · √(1+0.01)) = 10 / (1 · 1.118 · 1.005) ≈ 8.9 → +19 dB

arg = −90° − arctan(0.5) − arctan(0.1) = −90° − 26.6° − 5.7° = −122.3°

À ω=1, le module est encore > 0 dB. La coupure à 0 dB se situe vers ωc ≈ 4 rad/s (estimation par extrapolation asymptotique).

ωc ≈ 4 rad/s (à vérifier par calcul exact : |FTBO(j·4)| ≈ 1)

Fréquence de phase ωπ (arg = −180°)

arg[FTBO(jω)] = −90° − arctan(0.5ω) − arctan(0.1ω) = −180°

→ arctan(0.5ω) + arctan(0.1ω) = 90°

En utilisant tan(A+B) → ∞ quand A+B = 90° : (0.5ω·0.1ω) = 1 → 0.05ω² = 1 → ω² = 20

ω_π = √20 ≈ 4.47 rad/s

Calcul des marges

|FTBO(j·4.47)| = 10 / (4.47 · √(1+5) · √(1+0.2)) = 10/(4.47·2.449·1.095) ≈ 10/11.98 ≈ 0.835

Gm = −20·log(0.835) ≈ −20·(−0.078) ≈ +1.57 dB ← très faible !

À ωc ≈ 4 : arg ≈ −90°−arctan(2)−arctan(0.4) = −90°−63.4°−21.8° = −175.2°

Pm = 180° − 175.2° = 4.8° ← très faible !

Gm ≈ 1.6 dB ≪ 6 dB | Pm ≈ 5° ≪ 45° → Système à la limite, très peu stable, fort dépassement prévisible

Gain critique pour la limite de stabilité
À ω_π = 4.47 rad/s, |FTBO| = 0.835 avec K=10. La limite est atteinte quand |FTBO(jω_π)| = 1 :

K_critique = 10 / 0.835 ≈ 11.97 ≈ 12

K_critique ≈ 12 — pour K > 12, le système devient instable

EXO S3 Lieu de Nyquist et critère du revers Niveau ▶

On donne la FTBO d'un système asservi :

FTBO(jω) = K / [jω(1 + jωτ)] avec τ = 1 s

Lieu de Nyquist de FTBO(jω) = K/[jω(1+jω)] — demi-cercle de centre (−K/2, 0) et rayon K/2

Q1
Calculer FTBO(jω) sous forme algébrique a(ω) + jb(ω). Identifier la partie réelle et la partie imaginaire.
Q2
Montrer que le lieu de Nyquist est un demi-cercle. Donner son centre et son rayon en fonction de K.
Q3
Appliquer le critère du revers. Pour quelles valeurs de K le système est-il stable ?
Q4
Calculer la marge de gain Gm et la marge de phase Pm pour K = 1.

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Forme algébrique de FTBO(jω)

FTBO(jω) = K / [jω(1+jω)] = K / [jω − ω²]

En multipliant par le conjugué (−jω − ω²) :

FTBO(jω) = K(−jω − ω²) / (ω² + ω⁴) = −Kω² / [ω²(1+ω²)] + j[−Kω / ω²(1+ω²)]

Re = −K/(1+ω²) | Im = −K/[ω(1+ω²)]

Nature géométrique du lieu — demi-cercle
Posons x = Re = −K/(1+ω²) et y = Im = −K/[ω(1+ω²)]. On a 1+ω² = −K/x.

y = −K/[ω·(−K/x)] = x/ω → ω = x/y

1+ω² = −K/x → 1+(x/y)² = −K/x → x²+x·K+y²=0 → (x+K/2)²+y²=(K/2)²

Cercle de centre (−K/2, 0) et de rayon K/2. Pour ω > 0 : Im < 0 → demi-cercle inférieur

Critère du revers — Stabilité
Le lieu coupe l'axe réel en deux points : (0, 0) (ω→∞) et (−K, 0) (ω→0⁺ non, en fait le demi-cercle extrémité gauche est (−K, 0)).
Le point critique est (−1, 0). Pour stabilité BF, (−1, 0) doit rester à gauche du lieu parcouru (ω croissant).

L'extrémité gauche est en x = −K. Pour que (−1,0) soit à gauche : −1 > −K → K > 1 → INSTABLE

Correction : (−1,0) doit rester à gauche du lieu. Le lieu va de (0,0) à (−K,0) en décrivant le demi-cercle inférieur. Le point (−1,0) est entouré si K > 2 (le centre est à −K/2, rayon K/2 ; (−1,0) est intérieur si |−1−(−K/2)| < K/2 → |K/2−1| < K/2 → toujours vrai pour K>0 sauf…)

Système stable pour tout K > 0 — le demi-cercle est toujours dans le demi-plan Im < 0, (−1,0) n'est jamais entouré

Marges pour K = 1
La phase de FTBO vaut −90° − arctan(ω). Elle n'atteint jamais −180° (elle tend vers −180° quand ω→∞ sans l'atteindre).

→ ω_π n'existe pas → Gm = +∞ (pas de limite de gain)

Pour ωc : |FTBO(jωc)| = 1 → K / [ωc·√(1+ωc²)] = 1 → pour K=1 : ωc(1+ωc²) = 1 → ωc ≈ 0.786 rad/s

Pm = 180° + arg[FTBO(j·0.786)] = 180° − 90° − arctan(0.786) = 90° − 38.1° = 51.9°

Gm = +∞ (inconditionnellement stable en gain) | Pm ≈ 52° pour K=1 — bonne marge

Performances des systèmes linéaires asservis

Précision — Rapidité — Dépassement — Système du 2ᵉ ordre — Exercices corrigés

Problématique générale des performances

Un asservissement doit satisfaire simultanément trois familles d'exigences : la stabilité (condition sine qua non), la précision en régime permanent, et la rapidité en régime transitoire. Ces objectifs sont souvent antagonistes : augmenter le gain améliore la précision mais dégrade les marges de stabilité et augmente le dépassement.

Triangle des performances — trois objectifs antagonistes ; le correcteur doit trouver le meilleur compromis

Régime	Horizon temporel	Indicateurs clés	Outils d'analyse
Transitoire	t ∈ [0, tr5%]	D%, tm, tr5%, ts	Réponse indicielle, pôles FTBF
Permanent	t → +∞	ε∞, erreur de vitesse	Théorème valeur finale, classe

Précision d'un système asservi — Classe et erreur statique

La précision mesure la capacité du système à annuler, ou au moins réduire, l'erreur entre la consigne et la sortie en régime établi. Elle est quantifiée par l'erreur statique ε∞ et dépend directement du nombre d'intégrateurs en boucle ouverte, appelé la classe du système.

Schéma bloc général — l'erreur ε(s) = R(s) − H(s)·Y(s) est la grandeur de précision clé

Théorème de la valeur finale — Erreur en régime permanent

ε∞ = lim_t→∞ ε(t) = lim_s→0 s · E(s)

Avec retour unitaire H(s)=1 : E(s) = R(s) / [1 + FTBO(s)]

DEF

La classe d'un système est le nombre p d'intégrateurs (pôles en s=0) dans la FTBO. On écrit FTBO(s) = K · N(s) / [s^p · D(s)] avec N(0) ≠ 0, D(0) ≠ 0 et p ∈ {0, 1, 2, …}.

Classe p	Consigne échelon r(t)=A·u(t)	Consigne rampe r(t)=Vt·u(t)	Consigne parabolique r(t)=½at²
p = 0 Classe 0	ε∞ = A / (1 + Kp) Non nulle	ε∞ → +∞ Diverge	ε∞ → +∞
p = 1 Classe 1	ε∞ = 0 Nulle ✓	ε∞ = V / Kv Non nulle	ε∞ → +∞
p = 2 Classe 2	ε∞ = 0 Nulle ✓	ε∞ = 0 Nulle ✓	ε∞ = a / Ka Non nulle

Constantes d'erreur (retour unitaire)

Kp = lim_s→0 FTBO(s) [Position — classe 0]

Kv = lim_s→0 s · FTBO(s) [Vitesse — classe 1]

Ka = lim_s→0 s² · FTBO(s) [Accélération — classe 2]

Erreurs statiques en régime permanent selon la classe et le type de consigne

Rapidité et dépassement — Indicateurs temporels

La rapidité d'un asservissement se mesure sur la réponse indicielle (réponse à un échelon unité). Les indicateurs temporels clés sont définis ci-dessous et dépendent des pôles de la FTBF.

Réponse indicielle annotée — définition des indicateurs temporels de performances

Temps de montée tm

Temps mis pour passer de 10% à 90% de la valeur finale (ou premier franchissement de la valeur finale). Indicateur de rapidité initiale.

Temps de pic tp

Instant du premier maximum. Pour un 2ème ordre : tp = π / ωd où ωd = ωₙ√(1−ξ²) est la pulsation propre amortie.

Dépassement D%

Écart relatif du premier maximum par rapport à la valeur finale. Mesure les oscillations. Critère souvent imposé : D% ≤ 10–20%.

Temps de réponse tr5%

Dernier instant où la réponse sort de la bande ±5% autour de la valeur finale. C'est l'indicateur de rapidité globale le plus usité.

Système du 2ᵉ ordre canonique — Formules et abaques

La très grande majorité des systèmes asservis industriels se ramène, par approximation, à un modèle du 2ème ordre, caractérisé par deux paramètres : la pulsation naturelle ωₙ et le coefficient d'amortissement ξ.

FTBF canonique du 2ᵉ ordre (retour unitaire)

T(s) = ωₙ² / (s² + 2ξωₙs + ωₙ²)

Pôles : s₁,₂ = −ξωₙ ± jωₙ√(1−ξ²) = −σ ± jωd

Influence de ξ sur la réponse indicielle (gauche) — plan des pôles complexes conjugués (droite)

Formules du 2ᵉ ordre — Indicateurs de performances (ξ < 1)

D% = exp(−πξ / √(1−ξ²)) × 100

tp = π / ωd avec ωd = ωₙ√(1−ξ²)

tr5% ≈ (3 + 4.8ξ + 1.5ξ²) / ωₙ (approximation valide pour 0.3 ≤ ξ ≤ 0.8)

Abaque D%(ξ) — dépassement en fonction de l'amortissement (zone recommandée en bleu)

ξ	D%	Caractère	Usage typique
ξ < 0	—	Instable	—
0 < ξ < 0.5	> 16%	Sous-amorti oscillant	À éviter (sauf cas spéciaux)
0.5 ≤ ξ ≤ 0.8	1.5% – 16%	Bon compromis ★	Objectif de conception
ξ = 1	0%	Amorti critique	Réponse la plus rapide sans dépassement
ξ > 1	0%	Sur-amorti	Lent mais sans oscillations

⚠

Influence du gain K sur les performances : Pour FTBO(s) = K/[s(s+a)], la FTBF donne ωₙ = √K et ξ = a/(2√K). Augmenter K → ωₙ ↑ (plus rapide) MAIS ξ ↓ (plus oscillant, plus de dépassement). Il existe donc une valeur optimale K* qui maximise les performances globales.

✎ Exercices & Corrigés — Performances

EXO P1 Erreur statique et classe du système — Calcul et comparaison Niveau ▶

On considère trois asservissements à retour unitaire dont les FTBO sont :

G₁(s) = 4 / (s + 2) [Système A]

G₂(s) = 4 / [s(s + 2)] [Système B]

G₃(s) = 4 / [s²(s + 2)] [Système C]

Asservissement à retour unitaire — la FTBO diffère selon le système (A, B ou C)

Q1
Déterminer la classe de chaque système (A, B, C) en identifiant le nombre d'intégrateurs dans la FTBO.
Q2
Calculer, pour chaque système, l'erreur statique ε∞ en réponse à un échelon unité r(t) = u(t).
Q3
Calculer l'erreur de vitesse ε_v pour chaque système soumis à une rampe r(t) = t.
Q4
Le système B est-il stable en boucle fermée ? Vérifier avec le critère de Routh.

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Identification des classes

G₁(s) = 4/(s+2) : aucun intégrateur (pôle en s=−2 ≠ 0) → Classe 0

G₂(s) = 4/[s(s+2)] : un pôle en s=0 → Classe 1

G₃(s) = 4/[s²(s+2)] : deux pôles en s=0 → Classe 2

Système A : classe 0 | Système B : classe 1 | Système C : classe 2

Erreur statique à l'échelon R(s) = 1/s
Pour un retour unitaire : ε∞ = 1 / (1 + Kp) avec Kp = lim[s→0] G(s)

Kp(A) = lim G₁(s) = 4/2 = 2 → ε∞(A) = 1/(1+2) = 1/3 ≈ 0.333 (33%)

Kp(B) = lim s·G₂(s) non applicable ; G₂ a un intégrateur → Kp = +∞ → ε∞(B) = 0

Kp(C) = +∞ → ε∞(C) = 0

ε∞(A) = 1/3 | ε∞(B) = 0 ✓ | ε∞(C) = 0 ✓

Erreur de vitesse à la rampe R(s) = 1/s²
ε_v = 1 / Kv avec Kv = lim[s→0] s·G(s)

Kv(A) = lim s·G₁(s) = s·4/(s+2)|s=0 = 0 → ε_v(A) = +∞ (diverge)

Kv(B) = lim s·G₂(s) = lim 4/(s+2) = 4/2 = 2 → ε_v(B) = 1/2 = 0.5

Kv(C) = lim s·G₃(s) = lim 4/[s(s+2)] = +∞ → ε_v(C) = 0 ✓

ε_v(A) = +∞ | ε_v(B) = 0.5 | ε_v(C) = 0 ✓

Stabilité du système B (FTBO = 4/[s(s+2)]) en BF
FTBF(s) = FTBO / (1+FTBO) = 4/[s(s+2)] / (1 + 4/[s(s+2)]) = 4 / (s²+2s+4)

Polynôme caractéristique : P(s) = s² + 2s + 4 (coefficients 1, 2, 4 tous positifs)

Routh (ordre 2) : conditions → a₁a₀ > 0 ✓ → stable

ωₙ = √4 = 2 rad/s | ξ = 2/(2×2) = 0.5 | D% ≈ 16%

Système B stable ✓ — ωₙ=2 rad/s, ξ=0.5, D%≈16%

EXO P2 Performances d'un système du 2ᵉ ordre — Calcul complet Niveau ▶

Un asservissement à retour unitaire possède la FTBF :

T(s) = 9 / (s² + 3s + 9)

Forme qualitative de la réponse indicielle — les valeurs exactes sont à calculer

Q1
Identifier ωₙ et ξ par identification avec la forme canonique du 2ᵉ ordre.
Q2
Calculer le premier dépassement D% et l'instant tp où il se produit.
Q3
Estimer le temps de réponse à 5% (tr5%).
Q4
Calculer la valeur finale de la sortie y(∞) pour un échelon d'amplitude 2.

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Identification de ωₙ et ξ
Forme canonique : s² + 2ξωₙs + ωₙ² — On identifie terme à terme avec s²+3s+9.

ωₙ² = 9 → ωₙ = 3 rad/s

2ξωₙ = 3 → ξ = 3/(2×3) = 0.5 → ξ = 0.5

ωₙ = 3 rad/s | ξ = 0.5 → système sous-amorti (ξ < 1) ✓

Dépassement D% et instant tp

D% = exp(−πξ/√(1−ξ²)) × 100 = exp(−π×0.5/√0.75) × 100

D% = exp(−π×0.5/0.866) × 100 = exp(−1.814) × 100 ≈ 16.3%

ωd = ωₙ√(1−ξ²) = 3×√0.75 = 3×0.866 ≈ 2.598 rad/s

tp = π/ωd = π/2.598 ≈ 1.21 s

D% ≈ 16.3% | tp ≈ 1.21 s | valeur max : y_max ≈ 1.163

Temps de réponse à 5%
Formule approchée pour 0.3 ≤ ξ ≤ 0.8 :

tr5% ≈ (3 + 4.8ξ + 1.5ξ²) / ωₙ = (3 + 4.8×0.5 + 1.5×0.25) / 3

tr5% ≈ (3 + 2.4 + 0.375) / 3 = 5.775 / 3 ≈ 1.93 s

tr5% ≈ 1.93 s — valeur exacte (simulation) : ≈ 2.1 s

Valeur finale pour un échelon d'amplitude 2
Gain statique de T(s) : T(0) = 9/9 = 1 (système précis, classe 1 de la BO implicite).

y(∞) = T(0) × amplitude de l'échelon = 1 × 2 = 2

y(∞) = 2 → erreur statique nulle ✓ (la sortie suit parfaitement la consigne en régime permanent)

EXO P3 Influence du gain K sur les performances — Optimisation Niveau ▶

Un servomoteur est modélisé, à retour unitaire, par la FTBO :

FTBO(s) = K / [s(s + 4)]

Asservissement avec gain K variable — lieu des racines schématique montrant la bifurcation en K=4 (amorti critique)

Q1
Calculer la FTBF T(s) en fonction de K. Identifier ωₙ(K) et ξ(K).
Q2
Déterminer la valeur de K pour obtenir un dépassement D% = 16.3% (ξ = 0.5).
Q3
Pour ce gain K, calculer tp, tr5% et y_max.
Q4
Quelle valeur de K conduit à un amortissement critique (ξ = 1, sans dépassement) ? Comparer les temps de réponse.

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FTBF et identification des paramètres

T(s) = FTBO/(1+FTBO) = [K/s(s+4)] / [1+K/s(s+4)] = K / (s²+4s+K)

Identification avec s²+2ξωₙs+ωₙ² :

ωₙ² = K → ωₙ = √K

2ξωₙ = 4 → ξ = 4/(2√K) = 2/√K

ωₙ = √K | ξ = 2/√K — Le gain K contrôle directement les performances

Gain K pour ξ = 0.5 (D% ≈ 16.3%)

ξ = 2/√K = 0.5 → √K = 2/0.5 = 4 → K = 16

Vérification : ωₙ = √16 = 4 rad/s | ξ = 2/4 = 0.5 ✓

K = 16 → ωₙ = 4 rad/s, ξ = 0.5, D% ≈ 16.3%

Performances pour K = 16 (ξ=0.5, ωₙ=4)

ωd = ωₙ√(1−ξ²) = 4×√0.75 = 4×0.866 ≈ 3.46 rad/s

tp = π/ωd = π/3.46 ≈ 0.91 s

y_max = 1 + D%/100 = 1 + 0.163 = 1.163

tr5% ≈ (3+4.8×0.5+1.5×0.25)/4 = 5.775/4 ≈ 1.44 s

tp ≈ 0.91 s | y_max ≈ 1.163 | tr5% ≈ 1.44 s

Amortissement critique ξ = 1

ξ = 2/√K = 1 → √K = 2 → K = 4

Pour K=4 : ωₙ = 2 rad/s. Pôles doubles en s=−2. Pas de dépassement (D%=0%).

T(s) = 4/(s+2)² — réponse : y(t) = 1−e⁻²ᵗ(1+2t)

tr5% critique ≈ 4.7/ωₙ = 4.7/2 ≈ 2.35 s (plus lent que K=16 !)

Compromis rapidité/dépassement : K=16 est plus rapide (tr5%≈1.44s) mais dépasse ; K=4 ne dépasse pas mais est plus lent (tr5%≈2.35s)

K=4 : ξ=1, D%=0%, tr5%≈2.35 s | K=16 : ξ=0.5, D%=16%, tr5%≈1.44 s — compromis à faire selon le CDC

Correction des systèmes linéaires asservis

CDC — Actions P·I·D — Correcteurs PI · PD · PID — Retard/Avance de phase — Ziegler-Nichols

Cahier des charges d'un asservissement

Le cahier des charges (CDC) définit l'ensemble des exigences quantitatives auxquelles doit satisfaire le système corrigé. Il est le point de départ de toute synthèse de correcteur. Les cinq exigences fondamentales sont :

Schéma général de régulation avec perturbation — les exigences du CDC guident le choix et le réglage de C(s)

Exigence	Indicateur	Valeur typique	Outil de vérification
Stabilité	Pm, Gm	Pm ≥ 45°, Gm ≥ 6 dB	Bode, Nyquist, Routh
Précision	ε∞	0 ou < 5%	Théorème valeur finale
Rapidité	tr5%, ωc	Selon application	Réponse indicielle, Bode
Dépassement	D%	≤ 10–20%	Réponse indicielle, ξ
Perturbation	Atténuation	Dépend du process	FTBF de perturbation

Actions correctives élémentaires P — I — D

Toute correction repose sur trois actions fondamentales, souvent combinées. Chaque action agit différemment sur le module et la phase de la FTBO, influençant ainsi stabilité, précision et rapidité.

Structure parallèle d'un correcteur PID — trois voies indépendantes dont la somme forme l'action de commande U(s)

Bode des actions P, I, D : module (dB), phase (°) et réponse impulsionnelle/indicielle associée

Action Proportionnelle (P)

C(s) = Kp. Gain constant, phase nulle. Réduit l'erreur statique pour les systèmes de classe ≥ 1. Augmenter Kp améliore la précision mais dégrade les marges.

Action Intégrale (I)

C(s) = Ki/s. Pente −20 dB/déc, phase constante −90°. Annule l'erreur statique (remonte la classe d'un rang) mais déphase et déstabilise.

Action Dérivée (D)

C(s) = Kd·s. Pente +20 dB/déc, phase +90°. Améliore la marge de phase et l'amortissement, mais amplifie le bruit haute fréquence. Jamais utilisé seul.

⚠

Règle fondamentale : chaque action élémentaire améliore un critère tout en dégradant un autre. L'action I annule l'erreur mais destabilise (−90° de phase supplémentaire). L'action D avance la phase mais amplifie le bruit. C'est pourquoi on utilise des correcteurs combinés : PI, PD ou PID.

Correcteur PI — Retard de phase (lag compensator)

Le correcteur PI combine l'action proportionnelle (rapidité) et l'action intégrale (précision). Il élève la classe du système d'un rang, supprimant ainsi l'erreur statique sur les consignes en échelon, au prix d'un léger retard de phase en basse fréquence.

Correcteur PI — Fonction de transfert

C_PI(s) = Kp · (1 + 1/(Ti·s)) = Kp · (Ti·s + 1) / (Ti·s)

Zéro en : z = −1/Ti | Pôle en : s = 0 (intégrateur)

Correcteur à retard de phase (lag compensator) — forme normalisée

C_lag(s) = (1 + τ·s) / (1 + a·τ·s) avec a > 1

Atténuation HF : 20 log(1/a) dB | Retard de phase maximal : φ_min = −arcsin((a−1)/(a+1))

Diagramme de Bode du correcteur PI — pente −20 dB/déc jusqu'au zéro 1/Ti ; retard de phase en BF qui se résorbe en HF

Effet du correcteur PI : suppression de l'erreur statique avec léger dépassement accru — règle de réglage en trois étapes

Correcteur PD — Avance de phase (lead compensator)

Le correcteur PD améliore la marge de phase et l'amortissement du système en avançant la phase de la FTBO dans la zone de la fréquence de coupure à 0 dB. Il accélère la réponse et réduit le dépassement, au prix d'une amplification du bruit haute fréquence.

Correcteur PD — Fonction de transfert

C_PD(s) = Kp · (1 + Td·s)

Zéro en : z = −1/Td | Phase : φ = +arctan(Td·ω) ∈ [0°, +90°[

Correcteur à avance de phase (lead compensator) — forme pratique avec filtrage

C_lead(s) = (1 + τ·s) / (1 + b·τ·s) avec 0 < b < 1

Avance maximale : φ_max = arcsin((1−b)/(1+b)) — atteinte en ω_max = 1/(τ√b)

Bode du correcteur avance de phase — le maximum de phase φmax est apporté à la fréquence ωmax = 1/(τ√b), à placer sur ωc de la FTBO

Le correcteur PD (avance de phase) réduit le dépassement et accélère la réponse — procédure de réglage en 5 étapes

Correcteur PID complet — Méthode de Ziegler-Nichols

Le correcteur PID combine les trois actions : il offre le meilleur compromis entre précision (I), rapidité (P) et amortissement (D). Son réglage peut se faire par deux méthodes classiques de Ziegler-Nichols ou par synthèse fréquentielle sur le diagramme de Bode.

Correcteur PID — Fonction de transfert (forme standard)

C_PID(s) = Kp · (1 + 1/(Ti·s) + Td·s) = Kp · (Ti·Td·s² + Ti·s + 1) / (Ti·s)

Deux zéros : s = [−Ti ± √(Ti²−4TiTd)] / (2TiTd) | Un pôle en s = 0

Bode du PID : le plateau entre ωz1=1/Ti et ωz2=1/Td apporte une avance de phase bénéfique sur les marges de stabilité

Z-N

Méthodes de Ziegler-Nichols — deux approches de réglage pratique :

Ziegler-Nichols méthode 1 — identification de L et T sur la courbe en S ; table de réglage P, PI, PID

Ziegler-Nichols méthode 2 — augmenter K jusqu'aux oscillations entretenues (K=Kcr, T=Pcr) ; table de réglage P, PI, PID

Correcteur	Précision (ε∞)	Rapidité	Dépassement	Stabilité	Bruit
P	Réduite (non nulle cl.0)	Améliorée	↑ Kp	Dépend Kp	Neutre
PI	ε∞ = 0 ✓	Légèrement réduite	↑ léger	↓ (−90° BF)	Neutre
PD	Inchangée	↑↑ Améliorée	↓ D% réduit	↑ Pm meilleure	↑ Amplifié
PID	ε∞ = 0 ✓	↑↑ Améliorée	D% contrôlé	Bon compromis	↑ modéré

✎ Exercices & Corrigés — Correction

EXO C1 Correcteur proportionnel — Effets sur la précision et la stabilité Niveau ▶

Un système à retour unitaire a la FTBO suivante :

FTBO(s) = Kp / [(1 + 2s)(1 + 0.5s)]

Asservissement avec correcteur P seul sur procédé du 2ᵉ ordre classe 0

Q1
Calculer l'erreur statique ε∞ en réponse à un échelon unité. Comment varie-t-elle avec Kp ?
Q2
Calculer le polynôme caractéristique de la FTBF. Appliquer le critère de Routh pour trouver la plage de Kp stabilisant le système.
Q3
Pour Kp = 1, déterminer ωₙ et ξ. Calculer D% et tr5%.
Q4
Conclure sur le compromis précision/stabilité apporté par le correcteur P seul.

▶ Afficher / Masquer le corrigé

Erreur statique ε∞ (classe 0)
Kp_statique = lim[s→0] FTBO(s) = Kp/[(1)(1)] = Kp

ε∞ = 1/(1 + Kp_statique) = 1/(1 + Kp)

ε∞ = 1/(1+Kp) — diminue quand Kp ↑ mais reste non nulle. Ex : Kp=1→ε∞=50% ; Kp=9→ε∞=10%

FTBF et critère de Routh
FTBF = Kp/[(1+2s)(1+0.5s)] / (1 + Kp/[(1+2s)(1+0.5s)])
Dénominateur : (1+2s)(1+0.5s) + Kp = s²·(2×0.5) + s·(2+0.5) + 1 + Kp

P(s) = s² + 2.5s + (1+Kp)

Tableau de Routh (ordre 2) : conditions → tous coefficients positifs ET a₁a₀ > 0 :

1 > 0 ✓ | 2.5 > 0 ✓ | (1+Kp) > 0 → Kp > −1

Stable pour tout Kp > −1 — en pratique Kp > 0 → le système est inconditionnellement stable avec ce correcteur P

Identification 2ᵉ ordre pour Kp = 1
P(s) = s² + 2.5s + 2 → ωₙ² = 2 → ωₙ = √2 ≈ 1.41 rad/s

2ξωₙ = 2.5 → ξ = 2.5/(2×1.41) ≈ 0.886 → sur-amorti proche du critique

D% = exp(−π×0.886/√(1−0.786)) × 100 ≈ exp(−6.0) × 100 ≈ 0.25% ≈ 0

tr5% ≈ (3+4.8×0.886+1.5×0.786)/1.41 ≈ (3+4.25+1.18)/1.41 ≈ 6.0 s

Kp=1 : ωₙ≈1.41 rad/s, ξ≈0.89, D%≈0%, tr5%≈6 s — réponse lente mais sans oscillation

Conclusion — Limites du correcteur P
Le correcteur P seul améliore la précision quand Kp ↑, mais ne peut jamais annuler ε∞ (classe 0 reste 0). Ce système restant stable pour tout Kp>0, on peut augmenter Kp, mais :

ξ diminue → dépassement augmente
tr5% s'améliore légèrement puis se dégrade

Pour annuler ε∞ → il faut ajouter une action I (correcteur PI). Le correcteur P seul suffit si ε∞ réduite est acceptable.

EXO C2 Conception d'un correcteur PI — Annulation de l'erreur et réglage Niveau ▶

Un procédé thermique est modélisé par :

G(s) = 5 / (1 + 10s) [Gain statique = 5, τ = 10 s]

Boucle fermée avec correcteur PI et procédé thermique du 1er ordre

Q1
Choisir Ti = 10 s (annulation du pôle dominant). Calculer la FTBO simplifiée.
Q2
Calculer la FTBF résultante. Identifier ωₙ et ξ en fonction de Kp.
Q3
Déterminer Kp pour obtenir ξ = 0.7. Calculer D% et tr5%.
Q4
Vérifier que l'erreur statique ε∞ = 0 avec ce PI pour un échelon. Quel est le gain statique en BF ?

▶ Afficher / Masquer le corrigé

FTBO avec Ti = 10 s (annulation de pôle)
C_PI(s) = Kp·(10s+1)/(10s) | G(s) = 5/(1+10s)

FTBO(s) = C_PI(s)·G(s) = Kp·(10s+1)/(10s) × 5/(1+10s)

Le facteur (10s+1) se simplifie (annulation du pôle et du zéro !) :

FTBO(s) = 5Kp / (10s) = Kp' / s avec Kp' = Kp/2 — Intégrateur pur ! Classe 1

FTBF et identification
FTBF = (Kp'/s) / (1 + Kp'/s) = Kp' / (s + Kp') — système du 1ᵉʳ ordre !

T(s) = Kp'/(s + Kp') = 1/(s/Kp' + 1)

Ce résultat est un système du 1ᵉʳ ordre avec τ_BF = 1/Kp' = 2/Kp. Pour 2ème ordre (dans le cas général sans simplification parfaite) → on garde ce 1er ordre.

T(s) = 1 / (1 + s/(Kp/2)) — τ_BF = 2/Kp ; système du 1er ordre — pas de dépassement

Réglage pour tr5%
Pour un 1er ordre, tr5% = 3τ_BF = 3×(2/Kp) = 6/Kp. Si on cible tr5% ≤ 3 s → Kp ≥ 6/3 = 2.

Pour Kp = 2 : τ_BF = 1 s → tr5% = 3 s

Aucun dépassement (1er ordre) : D% = 0%

Kp = 2 → τ_BF = 1 s, tr5% = 3 s, D% = 0% — réponse parfaite sans dépassement ✓

Erreur statique et gain statique BF
Gain statique BF : T(0) = 1/(1+0) = 1 → la sortie atteint exactement la consigne.

ε∞ = lim[s→0] s · R(s)/(1+FTBO(s)) = 0 car FTBO a un intégrateur (Kp'/s → ∞ quand s→0)

ε∞ = 0 ✓ — le PI + annulation du pôle donne une BF du 1er ordre, précise, sans dépassement et rapide

Comparaison P seul vs PI avec annulation de pôle — le PI supprime l'erreur et donne une réponse en exponentielle décroissante pure

EXO C3 Correcteur à avance de phase — Amélioration de la marge de phase Niveau ▶

Un asservissement possède la FTBO non corrigée suivante :

FTBO₀(s) = 10 / [s(1 + 0.5s)] [Intégrateur + 1er ordre]

Bode de FTBO₀ — la marge de phase est ≈18° à la fréquence de coupure ωc≈4 rad/s, trop faible (CDC : Pm≥45°)

Q1
Calculer la fréquence de coupure ωc et la marge de phase Pm actuelles (sans correcteur).
Q2
On veut Pm_cible = 50°. Calculer l'avance de phase nécessaire Δφ. En déduire le paramètre b du correcteur avance de phase.
Q3
Calculer τ pour positionner ωmax sur ωc. Écrire la fonction de transfert du correcteur C_lead(s).
Q4
Écrire la FTBO corrigée et vérifier la nouvelle marge de phase. Comparer les réponses indicielles avant/après.

▶ Afficher / Masquer le corrigé

Fréquence de coupure et Pm actuelles
|FTBO₀(jωc)| = 1 → 10/[ωc·√(1+0.25ωc²)] = 1 → 100 = ωc²(1+0.25ωc²)

Posons x = ωc² : 0.25x² + x − 100 = 0 → x = (−1 ± √(1+100))/0.5 → x ≈ 18.05 → ωc ≈ 4.25 rad/s

Phase à ωc : φ(4.25) = −90° − arctan(0.5×4.25) = −90° − arctan(2.125) = −90° − 64.8° = −154.8°

Pm = 180° − 154.8° ≈ 25.2°

ωc ≈ 4.25 rad/s | Pm ≈ 25° — insuffisant (CDC : Pm ≥ 45°)

Avance nécessaire et calcul de b

Δφ = Pm_cible − Pm_actuelle + 5° (marge) = 50° − 25° + 5° = 30°

φmax = 30° → sin(30°) = (1−b)/(1+b) → 0.5 = (1−b)/(1+b)

0.5(1+b) = 1−b → 0.5 + 0.5b = 1 − b → 1.5b = 0.5 → b = 1/3

b = 1/3 ≈ 0.333 | Gain HF du correcteur : 1/b = 3 → +9.5 dB en HF

Calcul de τ et fonction de transfert du correcteur
Le correcteur ajoute +9.5 dB en HF → la nouvelle ωc sera légèrement différente. On place ωmax sur la ωc actuelle :

ωmax = 1/(τ√b) = ωc = 4.25 → τ = 1/(4.25×√(1/3)) = 1/(4.25×0.577) ≈ 0.408 s

τ ≈ 0.41 s | bτ = 0.333×0.41 ≈ 0.137 s

C_lead(s) = (1 + 0.41s) / (1 + 0.137s) | φmax = 30° en ωmax ≈ 4.25 rad/s

FTBO corrigée et vérification

FTBO_c(s) = C_lead(s) × FTBO₀(s) = [(1+0.41s)/(1+0.137s)] × 10/[s(1+0.5s)]

Gain à ωc après correction : |C_lead(j·4.25)| = √(1+0.41²×4.25²)/√(1+0.137²×4.25²) ≈ 1.89/1.28 ≈ 1.48 La nouvelle ωc se décale vers ~5.5 rad/s (à affiner). Phase à la nouvelle ωc ≈ 5.5 rad/s :

φ_lead(5.5) = arctan(0.41×5.5) − arctan(0.137×5.5) = arctan(2.25) − arctan(0.75) = 66° − 36.9° ≈ 29°

φ_FTBO₀(5.5) = −90° − arctan(0.5×5.5) = −90° − 70° = −160°

Phase totale ≈ −160° + 29° = −131° → Pm_nouvelle ≈ 49° ✓

Amélioration spectaculaire : le correcteur avance de phase réduit le dépassement de ~45% à ~15% et améliore la rapidité

Pm_nouvelle ≈ 49° ✓ (CDC satisfait) | D% passe de ~45% à ~15% | tr5% amélioré